MAGNETYCZNA CIECZ DIPOLOWA W DWÓCH WYMIARACH


Układ tworzą płaskie, koliste magnesy, umieszczone między dwoma płytami pleksi. Odległość między płytami pozwala magnesom przesuwać się względem siebie, ale z uwagi na swój płaski kształt nie mogą się one odwracać. Momenty magnetyczne magnesów są prostopadłe do ich kolistych powierzchni. Stąd oddziaływanie między nimi zależy od sposobu ich wkładania między płyty. Dwa magnesy o tej samej orientacji momentów magnetycznych będą się odpychały, a jeśli ich momenty będą skierowane przeciwnie, magnesy będą się przyciągać. Ich oddziaływanie ma charakter magnetostatyczny i może być obliczane jako oddziaływanie dipolowe. Na odległościach wyraźnie większych niż grubość magnesu siła tego oddziaływania może być przybliżone przez wyrażenie a/r ³, gdzie r jest odległością między środkami magnesów.

Jeżeli płyty pleksi ustawimy pionowo, odpychające się magnesy mogą ułożyć się w poziome warstwy, przy czym ilość magnesów w warstwie zależy do pewnego stopnia od sposobu ich ułożenia, tarcia magnesów o pleksi, kształtu i rozmiarów płyt. Odległości między kolejnymi warstwami są określone przez dwie konkurencyjne siły: odpychające oddziaływanie dipolowe oraz pole grawitacyjne. Obliczenie tych odległości jest złożonym problemem algebraicznym. Możemy je jednak uprościć, zaniedbując oddziaływanie między warstwami które nie sąsiadują ze sobą. Przybliżenie to polega na uwzględnieniu oddziaływania jedynie między pierwszą warstwą i drugą, drugą i trzecią, trzecią i czwartą itd. Zaniedbujemy natomiast oddziaływanie np. między warstwą pierwszą i trzecią, pierwszą i czwartą, drugą i czwartą. Trzeba jednak zaznaczyć, że ponieważ oddziaływanie dipolowe ma charakter dalekozasięgowy, wyniki otrzymane w ramach tego przybliżenia będą tylko jakościowo opisywać zachowanie się układu.

Przyjmując opisane przybliżenie, możemy w łatwy sposób obliczyć odległości między kolejnymi poziomymi warstwami magnesów. Oznaczmy kolejne odległości przez h(i), licząc od najwyższej warstwy. Tak więc odległość między pierwszą, najwyższą warstwą a warstwą drugą, leżącą bezpośrednio pod pierwszą, będzie h(1); odległość między warstwą drugą i trzecią będzie h(2) itd. Obliczenie to będzie najprostsze, jeśli przyjmiemy, że w każdej warstwie poziomej znajduje się tylko jeden magnes. Taki układ modelowy będzie więc swego rodzaju słupem cieczy, ograniczonym z boków przez rozmiary naczynia. Jeżeli magnesy są w równowadze, to siła grawitacji działająca na najwyższy magnes będzie zrównoważona przez oddziaływanie dipolowe, a więc Mg = a/h(1)³. W tym wzorze M jest masą magnesu, a g - przyspieszeniem grawitacyjnym. W ramach używanego tu przybliżenia odległość h(1) nie zmieni się, jeśli od dołu dodamy trzecią warstwę. Siła oddziaływania dipolowego między drugą a trzecią warstwą, czyli a/h(2)³, jest teraz równoważona przez siłę grawitacyjną dwóch magnesów, a więc 2Mg. Ten sam argument zastosowany do kolejnych warstw prowadzi do wniosku, że h(n)=[a/(Mgn)]^1/3.

Te rozważania prowadzą nas więc do zależności gęstości warstw, mierzonej wzdłuż osi pionowej, od głębokości liczonej od najwyższej warstwy. Gęstość jest to odwrotnie proporcjonalna do odległości h(n) między warstwami magnesów. Tego wyniku można również użyć do wprowadzenia ciśnienia, czyli w naszym przypadku siły działającej na jednostkę długości warstwy. Ponieważ, jak to było wspomniane wyżej, trudno przesądzać o odległości między magnesami wzdłuż warstwy, o ciśnieniu można wnioskować tylko z dokładnością do stałej. Ciśnienie w warstwie n jest więc proporcjonalne do masy magnesów nad tą warstwą, a więc proporcjonalne do Mgn. Tłumacząc numer warstwy na głębokość H(n), mamy H(n)=h(1)+h(2)+...+h(n). Zależności gęstości i ciśnienia od numeru warstwy czy też głębokości pod powierzchnią cieczy są analogiczne do znanego wzoru barometrycznego. Dodajmy, że temperaturę układu należy przyjąć jako równą zeru, ponieważ energia drgań termicznych magnesów jest w sposób oczywisty zaniedbywalnie mała w porównaniu z ich energią potencjalną.

W rzeczywistości spodziewamy się, że dalekozasięgowy charakter oddziaływania magnetostatycznego wprowadza odchylenia zachowania układu od powyższego przybliżenia. Dodając kolejne warstwy od dołu, powinniśmy w rzeczywistości uzupełniać energię układu o przyczynki związane z oddziaływaniem między warstwami magnesów które nie sąsiadują ze sobą. Ta poprawka będzie prowadziła do pewnego dodatkowego zwiększenia odległości między warstwami. Rzeczywiste wartości gęstości układu będą więc - jak można się spodziewać - nieco mniejsze, niż podane wyżej.




Układ magnesów ułożonych tak, aby zwroty momentów magnetycznych sąsiadujących magnesów były skierowane przeciwnie. W tych warunkach oddziaływanie magnetostatyczne jest przyciągające i magnesy trzymają się razem.




Magnesy umieszczono między dwoma płytami z pleksi. Zwroty momentów magnetycznych wszystkich magnesów są skierowane jednakowo. W tych warunkach oddziaływanie magnetostatyczne jest odpychające. Gdy płyty położone są poziomo, to oddziaływanie prowadzi do ustalenia mniej więcej jednakowych odległości między magnesami, które tworzą swego rodzaju strukturę, zbliżoną do sieci heksagonalnej.




Gdy płyty ustawione są pionowo, poza oddziaływaniem między magnesami dużą rolę gra pole grawitacyjne. Można wtedy mówić o swego rodzaju cieczy magnetycznej. Wzajemne odległości między magnesami są najmniejsze w dolnej części układu, a największe w górnej, przy powierzchni cieczy. Przybliżona struktura heksagonalna jest jednak zachowana.




Jeżeli stojące pionowo płyty przechylimy, powierzchnia cieczy magnetycznej pozostaje w przybliżeniu pozioma. Widoczny efekt zwiększenia gęstości cieczy przy dnie naczynia.




Ciśnienie cieczy magnetycznej można zwiększyć, przyciskając magnesy dodatkową płytą z pleksi.




Odpychające oddziaływanie dipolowe między magnesami równoważy ciężar dodatkowej płyty z pleksi.




Gęstość magnesów przy ściankach naczynia jest większa, niż w centrum układu. Analogiczny efekt w rzeczywistej cieczy - napięcie powierzchniowe - prowadzi do wklęsłości menisku. Podobny efekt obserwujemy w układzie magnetycznym, gdyż ścianki naczynia nie odpychają magnesów.