Pierre Fermat

Pierre Fermat (1601-1665) nazywany był słusznie ,,księciem amatorów'' - będąc z wykształcenia i zawodu prawnikiem (studiował prawo na uniwersytecie w Tuluzie i Orleanie) może się poszczycić osiągnięciami w rozwoju nauk matematycznych i fizycznych porównywalnymi z osiągnięciami najtęższych matematyków i fizyków 17. wieku. Jego oryginalne prace z geometrii analitycznej nie ustępowały pracom Kartezjusza (uważanego za ojca geometrii analitycznej), a jego wkład do rozwoju rachunku prawdopodobieństwa jest nie mniejszy od tego, jaki przedstawiają prace Pascala. Ale największą sławę w świecie matematyków zawdzięcza Fermat swoim dwóm twierdzeniom, nazywanym małym i dużym (lub ostatnim) twierdzeniem Fermata, a związanym z rozwijającą w 17. wieku teorią liczb. Fermat zajmował się matematyką z pasją i talentem, ale nie troszczył się zbytnio o rzetelne dokumentowanie swoich odkryć: przypuszczeń, czy też twierdzeń. Prawdopodobnie, nie będąc ,,prawdziwym'' matematykiem nie czuł się zobowiązany do detalicznego i rygorystycznego udodwadniania swoich śmiałych pomysłów, które zresztą dla niego (tylko!) były oczywiste. Większość osiągnięć Fermata można znaleźć na ...marginesach jego egzemplarza kompendium wiedzy matematycznej starożytnych Greków. Była to słynna Mathematica Diofantesa, opublikowana w latach dwudziestych 17. wieku w wersji dwujęzycznej: grecki oryginał z łacińskim tłumaczeniem i komentarzami. (Mathematica pojawiła się w nowożytnej Europie w drugiej połowie 16. wieku i została wówczas częściowo przełożona na łacinę przez Bombelliego.) Właśnie na marginesach tej książki można znaleźć większość ,,notatek'' Fermata - po jego śmierci, syn Fermata, Samuel, miał na szczęście świetny pomysł i spowodował reedycję książki z wszystkimi glosami na marginesach. Ale marginesy były niestety niezbyt szerokie - dlatego często wyjaśnienia, szkice dowod ów są skrótowe i nie do końca jasne. Oprócz glos na marginesach Mathematica Fermat pozostawił pewną liczbę listów do przyjaciół-matematyków (Pascala, i Mersenne'a) w których informuje ich o swoich najnowszych pomysłach, ale i w tym przypadku ogranicza się przeważnie do podania treści twierdzeń, bez wnikania w szczegóły dowodów. Należy pogratulować matematycznym przyjaciołom Fermata lojalności - listy, które pisał do nich Fermat traktowane były z należytym pietyzmem i szacunkiem; powielane (kopiowane) krążyły w ówczesnym ,,środowisku naukowym'' i spełniały - choć trochę - rolę dzisiejszych publikacji.

Małe twierdzenie Fermata odnosi się do problemu podzielności liczb. Problem ten jest ściśle związany z modnymi wówczas poszukiwaniami liczb doskonałych (liczba doskonała to liczba, która jest równa liczbie swoich podzielników - oczywiście pod warunkiem, że odrzucimy samą liczbę jako ,,własny'' podzielnik. Na przykład: 6=1+2+3 lub 28=1+2+4+7+14.), poszukiwaniami które rozpoczęli jeszcze matematycy w starożytnej Grecji. Twierdzenie to ma postać:

Jeżeli p jest liczbą pierwszą, natomiast a - dowolną liczbą całkowita NIEPODZIELNĄ przez p, to wyrażenie

$$a^{p-1} -1; \;\;\;\; a \;\; \mbox{\rm dowolna liczba całkowita niepodzielna przez }p,$$

jest podzielne przez p.
Ogłoszone (podane bez dowodu w liście do przyjaciela) w 1640 roku twierdzenie zostało ,,oficjalnie'' udowodnione przez Eulera, prawie sto lat później, chociaż w rękopisach dzieł Leibniza można znaleźć podobny (choć nie opublikowany) dowód, który Leibniz musiał przeprowadzić nie później niż w 1683r.). Dowód Cauchy'ego oparty o metodę indukcji matematycznej, połączoną z dwumianem Newtona, prościej jest przeprowadzić dla twierdzenia sformułowanego w postaci nieco ,,prostszej'' : udowadniamy podzielność przez p wyrażenia a^p - a . (Wytłumacz sobie równoważność obu sformułowań!).

Po pierwsze: jeżeli p jest liczbą pierwszą to współczynniki dwumianowe $\left( \begin{array}{c} p \\ k \end{array} \right)$ są podzielne przez p dla wszystkich $k=0,1,\ldots ,p-1$. Wynika to z ich definicji:

$$\left( \begin{array}{c} p \\ k \end{array} \right) =\fra... ...!}=\frac{p(p-1)(p-2)\ldots (p-k+1)}{1\cdot 2\ldots \cdot k}.$$

Licznik prawej strony jest ewidentnie podzielny przez p, a ponieważ w mianowniku występują czynniki z pewnością od p mniejsze to cała prawa strona - a więc i prawa - jest przez p podzielna. Po drugie: metoda indukcji pozwala łatwo wówczas wykazać prawdziwość twierdzenia. Dla p=1 a^p - a jest równe zeru, a zero jest podzielne przez wszystko. Jeżeli ten sprawdzian Cię nie zadawala to dla p=2 mamy a^p-a = a² - a = a(a-1). Taki iloczyn dwóch kolejnych liczb całkowitych musi być parzysty. Kolejny krok dowodu indukcyjnego to przyjęcie: a^p-a (a - dowolne, całkowite) podzielne przez p i wykazanie w oparciu o ten postulat tezy dla a+1. Wzór Newtona daje

$$(a+1)^p =a^p+\left( \begin{array}{c} p \\ 1 \end{array} ... ...left( \begin{array}{c} p \\ p-1 \end{array} \right) a+1.$$ (1.5)

Po przeniesieniu pierwszego i ostatniego wyrazu z prawej strony na lewą dostajemy

$$(a+1)^p-a^p-1=\left( \begin{array}{c} p \\ 1 \end{array} ... ...+\left( \begin{array}{c} p \\ p-1 \end{array} \right) a.$$ (1.6)

Zgodnie z przedstawioną przed chwilą argumentacją, prawa strona jest podzielna przez p, a więc p dzieli też wyrażenie (a+1)^p-a^p-1. Ponieważ, z założenia dzieli też a^p-a, to dzielić będzie sumę obu

$$(a+1)^p-a^p-1+a^p-a\equiv (a+1)^p-(a+1).\;\;\;c.b.d.o.$$

Proste. Tylko nie zapominaj, że metodę indukcji matematycznej trzysta lat temu potrafiło skutecznie zastosować (dosłownie) kilku matematyków. O ile ,,małe'' twierdzenie Fermata stosunkowo szybko przestało być tajemnicą to ,,wielkie twierdzenie'' Fermata pogrążyło w otchłani frustracji świat matematyczny na trzy i pół wieku! Glosa na marginesie powiększa jeszcze tę frustrację: Fermat pisze explicite, że zna dowód ale ...nie zamieszcza go z braku miejsca! Słynne twierdzenie jest zarazem ogromnie proste. Wszyscy znamy tzw. liczby pitagorejskie - triady liczb całkowitych x,y i z spełniające równanie Pitagorasa:

x²+y²=z².

Najbardziej chyba popularną trójcą jest 3,4,5 ale jest ich nieskończenie wiele. Otóż ,,wielkie twierdzenie'' mówi, że analogiczne równanie dla n>2

xⁿ+yⁿ=zⁿ

nie ma rozwiązań ! (oczywiście w klasie liczb całkowitych). Obecnie uważa się, że Fermat pisząc o swoim dowodzie miał prawdopodobnie na myśli dowód (?) dla konkretnych wartości n, np. n=3 lub n=4, ale najprawdopodobniej był bardzo (?) daleko od dowodu ogólnego. O ten ostatni rozegrała się 350-letnia batalia. Wielokrotnie pojawiali się zwycięzcy - ale ich dowody zawsze okazywały się niekompletne. W latach siedemdziesiątych (20. wieku!) do pracy zaprzęgnięto komputery, które (biedne) sumiennie przetestowały prawdziwość fermatowskiego twierdzenia dla n dobrze ponad 100 000! Dowód pojawił się w ostatnich latach. W lecie 1993, Andrew Wiles z Uniwersytetu Princeton, przedstawił serię trzech wykładów, 200-stronicową dysertację i ...po prawie dwuletnich deliberacjach świat matematyków wydał westchnienie ulgi. Dokonało się. Ale myślę, że gdzieś tam jeszcze długo (zawsze ?) pozostanie cień podejrzenia: czy rzeczywiście Fermat nie miał lepszego pomysłu na udowodnienie wielkiego twierdzenia te drobne 350 lat wcześniej?