Program WAVEPACK rozwiązuje zależne od czasu równanie Schroedingera dla początkowego stanu funkcji falowej zadanego przez pakiet falowy o danym średnim wektorze falowym Ko i dwóch możliwych obwiedniach: funkcji Gaussa oraz funkcji sinus. Zewnętrzny potencjał, w którym rozwiązywane jest równanie, ma postać studni potencjału o nieskończonych brzegach (na brzegu ekranu), której "dno" może być modyfikowane przez użytkownika. Dostępne są trzy formy modyfikacji potencjału na dnie studni:

• jedna lub dwie prostokątne bariery potencjału o szerokości i wysokości zadawanej przez użytkownika
• jedna "pochyła" bariera potencjału, dla której użytkownik zadaje dwie wysokości na brzegach oraz jej szerokość
• periodyczny układ barier potencjału, symulujący potencjał w krysztale

W czasie rozwiązywania równania program prezentuje na ekranie animację kwadratu modułu funkcji falowej oraz wypisuje w postaci cyfrowej takie wielkości fizyczne dotyczące pakietu (bądź wybranej jego części) jak średnie położenie, średnia prędkość oraz scałkowane prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w pewnych obszarach. Przy rozważaniu problemu przyjęto układ jednostek, w którym "h kreślone" oraz podwojona masa cząstki są równe jeden, co w rezultacie daje relacje:

Program pozwala na sprawną (tzn. zupełnie wystarczającą do celu wykładu czy ćwiczeń rachunkowych) demonstrację następujących problemów fizycznych:

• propagacja gaussowskiego pakietu falowego w swobodnej przestrzeni (obserwacja rozszerzania się pakietu)
• odbicie pakietu gaussowskiego zarówno od nieskończonej ściany potencjału jak i od bariery potencjału o skończonej wysokości i szerokości
• wejście pakietu na schodek potencjału o zadanej wysokości i związana z tym zmiana prędkości pakietu
• rozpędzanie i hamowanie pakietu gaussowskiego w obszarze stałej siły (stałego gradientu potencjału)
• ruch okresowy pakietu w potencjale oscylatora harmonicznego
• ewolucja (a właściwie jej brak) w czasie dla rozkładu prawdopodobieństwa w stanie podstawowym dla nieskończonej studni potencjału
• ewolucja w czasie dla stanu będącego kombinacją liniową dwóch stanów własnych w nieskończonej studni potencjału
• interferencja kwantowa na układzie dwóch barier potencjału, dla których współczynnik odbicia zależy od odległości barier od siebie (taki kwantowy interferometr Fabry-Perot)
• propagacja pakietu falowego w periodycznym potencjale (w krysztale) oraz pokazanie struktury pasmowej poprzez zależność współczynnika odbicia od kryształu od początkowej energii kinetycznej pakietu

Program posiada dwie wersje, z których pierwsza jest wersją typowo demonstracyjną, pozwalającą wybierać ze wstępnego (zewnętrznego) MENU gotowe prezentacje kilku najbardziej potrzebnych na wykładzie problemów dotyczących zachowania pakietu falowego. W tej wersji użytkownik po wybraniu opcji może tylko zatrzymać bieg programu klawiszem SPACE i wznowić jego działanie. Druga wersja jest wersją w której ustawianie wszystkich parametrów programu zostało zostawione użytkownikowi poprzez system MENU wewnątrz programu, znajdujący się w dolnej częśćci ekranu. W obu wersjach możliwe jest ustawiane parametrów wejściowych przez edycję zbioru danych wejściowych nazwanego "inp.dat" i znajdującego się w tym samym katalogu .

Dolna część ekranu służy do komunikacji z użytkownikem poprzez system MENU. (w wersji z możliwością zmiany parametrów). Całą centralną część ekranu zajmuje animacja funkcji falowej wykreślana na tle potencjału, w którym propaguje się pakiet. Ponieważ sama funkcja falowa jest wielkością zespoloną na ekranie prezentowany jest kwadrat jej modułu, tzn. gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki. Poniżej tego obszaru znajdują się dwa trójkątne znaczniki (koloru brązowego), ktore pozwajają wybrać do analizy pewną część pakietu falowego. Wyboru tej części dokonuje użytkownik przez ustawienie pozycji znaczników w MENU. Wyjściowo wskaźniki ustawione są na krańcach ekranu i obejmują cały pakiet falowy.

W lewej górnej części ekranu znajduje się wykres pomocniczy prezentujący średnie położenie pakietu lub prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w wybranym obszarze jako funkcję czasu. Wybór pomiędzy tymi dwoma opcjami należy do użytkownika (opcje przełącza klawisz "G" w trakcie trwania animacji). W prawej górnej części ekranu znajduje się pięć okienek, w których wypisywane są następujące wielkości:

• V - średnia prędkość części pakietu w wybranym obszarze (*)
• X - średnie położenie części pakietu w wybranym obszarze (*)
• P - prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w wybranym obszarze
• PL - prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w lewej połowie studni
• T - bieżący czas procesu

Przy prawym brzegu ekranu porusza się biały wskaźnik reprezentujący kwadrat średniego pędu pakietu podzielony przez 2m, co dla pojedynczego (nierozszczepionego pakietu) informuje o energii kinetycznej środka ciężkości pakietu. Przyjęta skala (w pionie) dokładnie odpowiada skali w jakiej rysowany jest potencjał, co pozwala na porównywanie energii kinetycznej pakietu np. z wysokością bariery potencjału od której pakiet się odbija. Jeden piksel ekranu w kierunku pionowym odpowiada 100 jednostkom energii (np. dla Ko=100 mamy E=10000 czyli 100 pikseli w pionie).

Cała studnia potencjału na ekranie rozciąga się zawsze na 600 pikseli ekranu. Odległość fizyczna odpowiadająca jednemu pikselowi wybierana jest przez użytkownika poprzez parametr DX. Pierwsza bariera oraz potencjał periodyczny zaczynają się zawsze od pozycji odpowiadającej pikselowi nr 300. Dla pierwszej bariery możliwe jest jej rozciąganie w prawo bądź w lewo od piksela 300 przez wybór odpowiedniej (dodatniej lub ujemnej) jej szerokości. Dla ułatwienia operowania programem parametry, które przedstawiane są bezpośrednio na ekranie, podawane są przez użytkownika w pikselach, które program sam przelicza na odpowiednie jednostki fizyczne.

Jak zostało napisane powyżej w samym programie parametry można modyfikować tylko w pełnej wersji programu i jej dotyczy poniższy opis. W zubożonej wersji programu można je zmieniać przez edycję zbioru "inp.dat". W wersji pełnej parametry modyfikowane są przez system MENU w dolnej części ekranu. Służą do tego pierwsze trzy opcje od lewej, tzn. "Numerics", "Packet" oraz "Potential". Dwie opcje po prawej stronie tzn. "Run" i "Exit" służą do uruchamiania obliczeń oraz do wychodzenia z programu.

Poruszanie się po systemie MENU odbywa się za pomocą poziomych kursorów (strzałek), klawisza ENTER (wchodzenie do danej opcji MENU) i klawisza ESC (wychodzenie z danej opcji MENU do MENU głównego). Po wejściu do danej opcji MENU wybór parametru do modyfikacji odbywa się za pomocą kursorów (strzałek) poziomych, zaś modyfikacja danego parametru za pomocą kursorów (strzałek) pionowych oraz klawiszy PgUp i PgDn. Te ostatnie używane są w przypadkach, gdy wymagana jest zmiana parametru "wiekszymi skokami" i działają tylko dla części parametrów. Po zakończeniu modyfikacji danej grupy parametrów wyjście do MENU głównego odbywa się za pomocą klawisza ESC.

OPCJA "NUMERICS"
================

• TIME STEP - krok czasowy używany przy całkowaniu równania Schroedingera,
  zakres parametru ( 0.00001 , 0.00020 )
• SPACE STEP - krok przestrzenny przyjęty przy rozwiązywaniu równania,
  zakres parametru ( 0.0010 , 0.0050)
• SCALE - skala pionowa (mnożnik) używana przy rysowaniu funkcji falowej,
  zakres parametru ( 10 , 40 )
• LEFT LIM. - lewa granica obszaru używanego przy analizie pakietu
  zakres ( 0 , 600 ) pikseli (*)
• RIGHT LIM. - prawa granica obszaru używanego przy analizie pakietu
  zakres ( 0 , 600 ) pikseli (*)

OPCJA "PACKET"
==============

• TYPE - typ pakietu w chwili początkowej:
  GAUSSIAN - pakiet gaussowski o danej półszerokości DX0
  SIN FUNCT. - pakiet w postaci funkcji sinus z możliwą domieszką trzeciej harmonicznej A3
• WAVE VECT. - średni wektor falowy pakietu: dwa pi przez Ko daje długość fali w jednostkach fizycznych (lub w pikselach ekranu po podzieleniu przez parametr DX), zakres ( 0, 150.0 )
• WIDTH - półszerokość pakietu gaussowskiego w jednostkach fizycznych (odpowiednią ilość pikseli można oszacować dzieląc przez parametr DX), zakres ( 0.01 , 0.09 )
• THIRD HARM - zawartość trzeciej harmonicznej w pakiecie o obwiedni typu sinus,
  zakres ( -1.0 , 1.0 )

OPCJA "POTENTIAL"
=================

TYPE - typ modyfikacji potencjału na dnie studni:

• BARRIER - jedna lub dwie prostokątne bariery potencjału
• SLOPE - jedna pochyła bariera potencjału
• HARMONIC - potencjał harmoniczny (paraboliczny)
• CRYSTAL - potencjał periodyczny na prawej połowie studni (kryształ)

• H1 - wysokość pierwszej bariery potencjału w pikselach ekranu
  ( 1 piksel = 100 jedn. energii ), zakres ( 0 , 500 )
• W1 - szerokość pierwszej bariery potencjału w pikselach ekranu
  zakres ( -300 , 300 )
• H2 - wysokość drugiej bariery potencjału w pikselach ekranu
  zakres ( 0 , 500 )
• W2 - szerokość drugiej bariery potencjału w pikselach ekranu
  zakres ( 0 , 300 )
• DIS - odleg’ość pomiędzy prawą krawędzią pierwszej bariery a lewą krawędzią drugiej bariery,
  zakres ( 0 , 300 )

Dla opcji SLOPE:

• H1 - wysokość bariery (w pikselach ) dla krawędzi w środku ekranu
  zakres ( 0 , 500 )
• W1 - szerokość bariery w pikselach ekranu,
  zakres ( -300 , 300 )
• H2 - wysokość bariery (w pikselach) dla jej drugiej krawędzi
  zakres ( 0 , 300 )

1) propagacja gaussowskiego pakietu falowego w swobodnej przestrzeni (obserwacja rozszerzania pakietu)

Przyjąć wyjściowe wartości parametrów. Można zmieniać parametry WIDTH(DX0) (zakres 0.02-0.05) oraz Ko (pakiet nieruchomy lub poruszający się)

2) odbicie pakietu gaussowskiego zarówno od nieskończonej ściany potencjału jak i od bariery potencjału o skończonej wysokości i szerokości

Potencjał BARRIER: H1=100, W1=10, H2=0, W2=0, DIS=0
Zmieniać parametr Ko, wartość Ko=100 odpowiada energii kinetycznej pakietu równej wysokości bariery

3) wejście pakietu na schodek potencjału o zadanej wysokości i związana z tym zmiana prędkości pakietu

Potencjał BARRIER: H1=75, W1=300, H2=0, W2=0, DIS=0
Wektor falowy: Ko=100
Obserwować zmianę prędkości można jakościowo jako zmianę nachylenia wykresu x(t) średniego położenia w funkcji czasu lub ilościowo mierząc średnią prędkość na lewo od schodka (LEFT=0, RIGHT=300) oraz na prawo od schodka (LEFT=300, RIGHT=600)

5) ruch pakietu w potencjale oscylatora harmonicznego

Potencjał typu HARMONIC, H1=500
Pakiet falowy typu GAUSS, wektor falowy Ko=-50, DX0=0.04

6) ewolucja (a właściwie niezmienność) w czasie dla rozkładu prawdopodobieństwa w stanie podstawowym dla nieskończonej studni potencjału

Potencjał typu BARRIER: H1=500, W1=300, H2=0, W2=0
Pakiet typu SIN: THIRD HARM=0.0
Wektor falowy Ko=0.0

7) ewolucja w czasie dla stanu będącego kombinacją liniową dwóch stanów własnych w nieskończonej studni potencjału

Potencjał typu BARRIER: H1=500, W1=300, H2=0, W2=0
Pakiet typu SIN: THIRD HARM=0.7
Wektor falowy Ko=0.0

8) interferencja kwantowa na układzie dwóch barier potencjału, dla których współczynnik odbicia zależy od odległości barier od siebie

Potencjał typu BARRIER: H1=100, W1=5, H2=100, W2=5, DIS zmienne (5-20)
Pakiet falowy typu GAUSS, wektor falowy Ko=90-100, DX0=0.04-0.05

9) propagacja pakietu falowego w periodycznym potencjale (w krysztale) oraz pokazanie struktury pasmowej poprzez zależność współczynnika odbicia od początkowej energii kinetycznej pakietu

Potencjał typu CRYSTAL, H1=100, W1=5, H2=0, W2=10, DIS=0
Pakiet falowy typu GAUSS
Wektor falowy Ko=70 (środek pierwszego pasma)
Wektor falowy Ko=100 (środek pierwszej przerwy energetycznej)

Wszelkie uwagi nt. działania programu, ewentualnych błędów itp. należy zgłaszać pod adresem:

L.Pytlik, AGH, ul. Reymonta 19, pok.306, tel.wewn. 41-59
e-mail: pytlik@novell.ftj.agh.edu.pl

Tutaj można sobie pobrać:

• wersję okrojoną (wykładową) WavePkt lub
  
• wersję pełną ze zmianą parametrów WavePack .

Aktualizacja: 08 października, 2000