19. Gaz elektronów swobodnych.

N- całkowita liczba elektronów =objętość kuli Fermiegio x gęstość stanów

-koncentracja (gęstość) nośników

-promień kuli Fermiego

-pęd Fermiego

-prędkość Fermiego

-energia Fermiego

Rzędy wielkości

kula o promieniu r_S jest równa objętości przypadającej na 1 elektron

Å - promień atomu Bohra

Koncentrację odczytujemy z tablic:

dla metalu:

(elektron ma kilka promieni atomu Bohra dla swobodnego ruchu)

Wnioski:

1. Mimo, że T=0K (klasycznie powinny przestać się poruszać) okazuje się, że elektrony muszą się poruszać, ponieważ stany podstawowe są zajęte i muszą być pakowane do wyższych stanów energetycznych, tworząc kulę Fermiego.

2. Największa prędkość elektronów jest rzędu 1%c, czyli możemy zaniedbać poprawki relatywistyczne.
   

energia atomu wodoru

(1eV ~11400K)

Na poziomie Fermiego elektrony mają taką energię, jaką miałaby gaz idealny o T ~ 11400 K

(energia termiczna w temperaturze pokojowej)

Jeżeli dodamy temperaturę, to rozmyje nam krawędź kuli Fermiego, ale bardzo niewiele. Nadal w pierwszym przybliżeniu można przyjąć, że wszystkie stany poniżej są obsadzone, a powyżej są puste.

Energia całkowita (dla T=0K)

całka po kuli Fermiego

Średnia energia na jedną cząsteczkę

Zarówno E_F jak i T_F są duże w porównaniu z energią termiczną (w T=0 K).

Liczymy przybliżenie gazu doskonałego, więc nie liczymy energii potencjalnej. Ale ponieważ gaz elektronów rozpatrujemy w sieci krystalicznej, więc w pierwszym przybliżeniu można zaniedbać oddziaływanie między elektronami.

Własności termodynamiczne gazu elektronów swobodnych.

Statystyka Fermiego:

średnie obsadzenie danego poziomu energetycznego

rozkład Fermiego w T=0 K

w T>0 K

- to równanie pozwala wyznaczyć potencjał chemiczny

Funkcja

zwana jest rozkładem Fermiego

Jest to funkcja rozkładu dla cząstek, z których tylko jedna może zajmować każdy stan kwantowy. Dla elektronów i wszystkich pozostałych cząstek mających spin połówkowy, czyli dla fermionów, taka funkcja rozkładu zapewnia spełnienie zakazu Pauliego. Rozkład Fermiego jest słuszny dla wszystkich układów atomów lub cząstek umieszczanych na z góry ustalonych pozycjach, wszędzie tam, gdzie tylko jeden atom lub cząstka może zajmować taką pozycję. sytuacje takie można napotkać przy rozważaniu termodynamiki defektów, rozpuszczania gazów w ciałach stałych.

W wyższych temperaturach ostra krawędź funkcji Fermiego zostaje zaokrąglona- stany poniżej energii E_F mają skończone prawdopodobieństwo bycia pustymi, a te o energiach wyższych od E_F mogą być zapełnione. Szerokość obszaru, na którym odchylenie funkcji Fermiego od funkcji schodkowej jest znaczące, jest rzędu 2kT. Widać, że w miarę podnoszenia temperatury tylko niewielka liczba elektronów może pobrać energię. Fakt ten ma istotne konsekwencje, np. dla ciepła właściwego gazu elektronowego.

Ciepło właściwe elektronów w metalach

Dla typowej koncentracji elektronów przewodnictwa należałoby oczekiwać, poza ciepłem właściwym sieci krystalicznej, wkładu od elektronów do ciepła właściwego , zgodnie z prawem ekwipartycji energii - przynajmniej w podwyższonych temperaturach. Doświadczenia wykonywane na metalach nie wykazały jednak odchyleń od prawa Dulonga- Petita. Powód jest prosty: elektrony, w odróżnieniu od gazu klasycznego, mogą pobierać energię tylko wtedy, gdy mają możliwość przeniesienia się na nie obsadzony stan o energii niewiele się różniącej od energii stanu wyjściowego. Liczba elektronów, które mają taką możliwość, wyrażona jako ułamek całkowitej koncentracji n, jest zaledwie rzędu 1%, jak to pokazuje następujący przykład:

"Rozmyty" obszar funkcji Fermiego ma szerokość rzędu 4kT, czyli zakaz Pauliego zezwala tylko części 4kT/E_F wszystkich "swobodnych" elektronów (o koncentracji n) na absorbowanie energii termicznej. Energia przypadająca na jeden elektron jest rzędu kT, tak więc energia całkowita wszystkich termicznie wzbudzonych elektronów jest rzędu

Oznaczając przez

temperaturę Fermiego, otrzymujemy następujące oszacowanie rzędu wielkości ciepła właściwego elektronów:

Temperatury Fermiego są rzędu 10⁵ K i to, ze względu na czynniki we wzorze, tłumaczy znikomy wkład elektronów przewodnictwa do ciepła właściwego.

Przeprowadzimy dokładnie obliczenia:

Eel

-energia elekt.

- ciepło właściwe elektronów

Pochodna funkcji Fermiego po temperaturze jest niezerowa tylko w pobliżu energii Fermiego. Ponieważ gęstość stanów , czyli jest ciągłą funkcją energii, w obliczenia istotna jest tylko gęstość stanów na powierzchni Fermiego.

,

zróbmy podstawienie;

Jedyną różnicą pomiędzy ścisłym rachunkiem i poprzednim szacowaniem jest pojawienie się czynnika zamiast liczby 8.

Ostatecznie :

W niskich temperaturach ciepło właściwe sieci krystalicznej jest proporcjonalne do T³ (model Debye’a), a zatem całkowite ciepło właściwe wyraża się wzorem :

Przyczynek do ciepła właściwego pochodzący od gazu elektronów swobodnych jest istotny tylko w niskich temperaturach, kiedy składnik liniowy przewyższa składnik sześcienny. Dla niektórych substancji efektywna masa jest bardzo duża (mają duże ). Są to tzw. ciężkie fermiony.