Notatki do wykładu z FIZYKI KWANTOWEJ.
Opracowali: J. Ropka, B. Wróbel. Konsultacje: J. Wolny
8. Mechanika falowa Schrödingera (operatory, postulaty).
Powyższe równanie, zwane równaniem Schrödingera, spełnia
wszystkie cztery założenia o postaci kwantowego równania falowego.
Postulaty równania Schrödingera
Zakładamy, że każda obserwowana własność reprezentowana jest przez
operator. Takie własności mierzalne zwane są
obserwablami. Operatory działają na funkcje, które
reprezentują stany układu i są nazywane funkcjami stanu (funkcjami
falowymi).
Jedynymi możliwymi wynikami
obserwacji operatora
są odpowiednie wartości własne operatora (najpierw obserwabli trzeba
przyporządkować odpowiedni operator, a później wyliczyć jego
wartości własne).
Wynikiem obserwacji operatora
wykonanej na układzie w stanie własnym
jest na pewno wartość własna an.
Wartość średnia obserwacji
powtarzanych na zbiorze układów, z których każdy znajduje się w
dowolnym stanie
wyraża się wzorem
Diarc wymyślił swoją własną notację :
|
zapis operatorowy
|
Przedstawienie Schrödingera
zatem
|
|
|
|
1D:
|
|
3D:
|
|
|
W 3D operatorowo :
równanie Schrödingera (wynika
z dwóch poprzednich).
Definiuje się następujący operator :
|
|
zwany " hamiltonianem" , wtedy równanie Schrödingera
da się nawet zapamiętać!
Relacja między pędem a energią też w końcu jest widoczna.
Interpretacja Borna: gęstość prawdopodobieństwa znalezienia
cząstki w punkcie x, w chwili t jest równa kwadratowi
wartości bezwzględnej funkcji falowej
Należy podkreślić, że nie możemy się spodziewać, aby równanie
Schrödingera zachowywało swoją ważność w odniesieniu do cząstek
poruszających się z relatywistycznymi prędkościami. Zakładaliśmy
bowiem, aby było ono zgodne z klasycznym wyrażeniem na energię, które
przestaje być słuszne dla dużych prędkości. Równanie to także nie
uwzględnia przypadku kreacji i anihilacji par –zakłada stałą
liczbę cząstek obdarzonych masą.
Równanie Schrödingera jest zależne od przestrzeni i czasu.
Można go uprościć, jeżeli potencjał nie zależy od czasu:
|
|
Rozwiązując równanie własne ...
|
|
|
... znajdujemy funkcję własną operatora
|
Równanie Schrödingera niezależne od
czasu:
Niezależnie od czasu równanie Schrödingera jest
równaniem własnym operatora energii
gdzie:
E i
są to wartości i funkcje własne powyższego równania własnego.
góra
|