2 SOC w automacie Life

O automacie Life była już mowa krótko w rozdziale 2 ( Oczywiście w wydaniu ksążkowym), tu trzeba powiedzieć więcej. Przypomnijmy, że jest to automat zdefiniowany na dwuwymiarowej sieci kwadratowej, na otoczeniu Moore'a, na które składa się komórka centralna i jej osiem najbliższych sąsiadów. Komórka może być żywa lub martwa (1 lub 0). Martwa komórka ożywa w następnym kroku czasowym, jeśli miała 3 żywych sąsiadów; żywa pozostaje żywa, jeśli miała 2 lub 3 żywych sąsiadów. W pozostałych przypadkach komórka staje się (lub pozostaje) martwa, czyli przyjmuje stan 0. Takie reguły - śmierć zarówno z natłoku, jak z samotności - można porównywać do znanego równania logistycznego, z jego tłumiącą wzrost zależnością kwadratową [4], a ogólniej - do członu Verhulsta w problemach dotyczących wzrostu populacji [11]. Reguły te pozwalają na nadspodziewanie bogate zachowania sieci [12], przypominając pierwotną zupę - ciecz w jakiej powstało życie - o której myślał von Neumann.

Rysunek 1: Odległość Hamminga w zależności od czasu.

Tablica 1: Przykłady 18 ''skamienielin'' automatu Life [16]. Kreskowania ukazują kolejne stany. Na przykład ''Migacz'' jest raz pionowy, raz poziomy. Do kompletu dołączono szybowiec. Więcej o Life można znaleźć na stronie http://www.mindspring.com/~alanh/life/

NR Reguła nazwa NR Reguła nazwa 1 Kwadrat 2 Krzyż 3 Łódź 4 Statek 5 Ul 6 Barka 7 Długa łódź 8 Długi statek 9 Trójki 10 Bochen 11 Staw 12 Wąż 13 Szlak 14 Migacz 15 Stykacz 16 Prasa 17 Wiatrak 18 Szybowiec

Doświadczenia numeryczne wskazują, że Life pozostawiony bez ingerencji zastyga w formie ''skamienielin'': izolowanych, małych form, statycznych lub oscylujących z okresem 2. Najczęściej spotykane skamienieliny prezentuje tablica 1. Zanim jednak dojdzie do tego stanu końcowego, układ emituje ''szybowce'' - formy ruchome, przemieszczające się bez żadnych ograniczeń. Zderzenie szybowca ze skamienieliną może prowadzić do emisji kolejnych szybowców, które z kolei budzą do życia kolejne skamienieliny. Fizykowi kojarzy się to z reakcją rozszczepienia uranu i z emisją kolejnych neutronów. Można zapytać, czy począwszy od pewnego rozmiaru układu reakcja będzie się sama podtrzymywać? Taki stan moglibyśmy nazwać stanem krytycznym. Ale w literaturze można spotkać różne opinie na ten temat [13],[14]. Pomiary współczynnika mnożenia [15] szybowców dają wartość [16].

Idąc jednak za oryginalnym sformułowaniem [1],[2],[4], ujmijmy problem nieco inaczej. Sterta piasku pozostaje w samozorganizowanym stanie krytycznym tylko wtedy, jeśli stale dosypujemy piasku. Inaczej mówiąc, SOC jest stanem stacjonarnym układu otwartego. Stan krytyczny układu oznacza, że zasięg rozchodzących się w nim zaburzeń jest nieograniczony. Jak pamiętamy, jest to cechą automatów chaotycznych, należących do klasy III Wolframa. Można więc stwierdzić SOC, zaburzając układ otwarty i obserwując rozchodzenie się tego zaburzenia. Jeśli jego zasięg przekroczy rozmiar sieci, mamy do czynienia ze stanem krytycznym.

Ten sposób rozumowania był zastosowany w pracy [17]. Układ ''doświadczalny'', tj. kwadrat komórek, był poddany strumieniowi szybowców. Deterministyczna ewolucja układu była zaburzona przez zmianę stanu jednej komórki w pobliżu środka układu. Obserwowana różnica między ewolucją układu zaburzonego i niezaburzonego, mierzona jako odległość Hamminga (wzór 4.1) między stanami sieci w funkcji czasu, jest pokazana na rys. (1). Jak wynika z obliczeń, dla długich wartości czasu otrzymujemy zależność , gdzie . Tak więc w układzie otwartym Life można uważać za automat klasy III. Wynik jest nieco kontrowersyjny, bo Life jest znany jako automat uniwersalny, należący do klasy IV [12]. Wnioskujemy więc, że dla klasyfikacji danego automatu istotne są warunki brzegowe.