chociaż Euklides (ca. 300 lat przed Chrystusem) wykazał, że jeżeli
suma
(1.9) |
jest liczbą pierwszą p, to ostatni składnik tej sumy
przemnożony przez jej wartość
jest liczbą doskonałą (parzystą). Zauważ, że suma 1.9
to suma postępu geometrycznego i jest równa 2k - 1.
Tak więc, zgodnie z pomysłem Euklidesa, postać ogólna parzystych liczb
doskonałych to
P = 2k-1(2k-1). | (1.10) |
Rzeczywiście, po dwóch tysiącach lat Euler wykazał, że wszystkie
parzyste liczby doskonałe muszą mieć właśnie taką postać.
Nikt (!) nie znalazł jeszcze nieparzystej liczby doskonałej, ale też nikt
(!!) nie wykazał, że takich liczb nie ma. Wzór Eulera-Euklidesa początkowo
uważano za ,,uniwersalną'' formułę do generowania liczb doskonałych, ale
np. dla k=11
nie jest liczbą pierwszą, i w konsekwencji,
nie jest liczbą doskonałą. Poszukiwania kolejnych liczb stały się
możliwe dopiero w momencie zaadaptowania ,,liczb arabskich" (systemu dziesiątkowego) do rachunków,
z końcem 16. wieku. Stosunkowo szybko znaleziono
dla
tylko n =
2,3,5,7,13,17,19,31,67,127 i 257 daje liczby pierwsze (i odpowiednie liczby doskonałe). Warto tutaj dodać, że liczba M257
zapisana w postaci dziesiętnej składa się z ...78 cyfr! W rzeczywistości
Mersenne popełnił 5 (tylko?, aż?) błędów, z których ostatni wyłapano ...50
lat temu! Wykazano (w dziewiętnastym wieku) , że: M61,
M89, M107 są liczbami
pierwszymi; natomiast M67 i M257
są liczbami złożonymi. Warto to zobaczyć, na przykład
Jeżeli interesuje Cię "jak się to robi" zaglądnij na stronę o teorii liczb Gaussa.
Oczywiście, wraz z erą komputerów poszukiwania liczb doskonałych
ruszyły z kopyta. O ile do roku 1914 znano tylko 12 liczb doskonałych,
to w ciągu ostatniego pół-wieku znaleziono ich jeszcze 21. Największa (A.D.
1994) liczba doskonała to
(Jej postać dziesiętna to 517 431 cyfr.)
Liczby zaprzyjaźnione to takie pary liczb, z których każda jest równa sumie podzielników drugiej (jak zwykle spośród wszystkich podzielników danej liczby odrzucamy ją samą. Znana już Pitagorejczykom para to 220 i 284; podzielniki 220 rzeczywiście dają:
a podzielniki 284
Przez dobre dwa tysiące lat para ta była właściwie jedyną znaną
,,powszechnie'', chociaż arabski matematyk z 9. wieku, Thabit ibn Kurrah,
podaje regułę wyszukiwania liczb zaprzyjaźnionych: jeżeli trzy liczby:
oraz ,
są wszystkie liczbami pierwszymi i n>2, to 2npq
i 2nr tworzą parę liczb zaprzyjaźnionych.
Liczbami zaprzyjaźnionymi zajmowała się ta sama ekipa matematyków, która polowała na liczby pierwsze: Mersenne, Fermat, a także Kartezjusz. Euler podaje listę 64 zaprzyjaźnionych par, z których dwie pary okazały się (po blisko dwustu latach) ,,nieprzyjazne''. Dzisiaj znamy prawie 8000 zaprzyjaźnionych par, których składniki potrafią być rzędu 109. Nikt jednak nie znalazł odpowiednika ogólnego wzoru, służącego do generowania wszystkich parzystych liczb doskonałych (1.10), który mógłby być użyty do generowania wszystkich zaprzyjaźnionych par. Szkoda? Może i nie. Dzisiaj już wiara w zaprzyjaźnione liczby wygasła, i nikt nie korzysta z przykładu średniowiecznego księcia, którego liczbowa wartość imienia wynosiła 284 i który pozostał do śmierci kawalerem, bo nie mógł znaleźć narzeczonej, której imię miałoby wartość 220.