nextupprevious
Next: Liczby przeróżne...Up:Magia i mistyka liczb;Previous:Magia i mistyka liczb;

Liczby doskonałe; liczby zaprzyjaźnione

Nawet Święty Augustyn w swoim De Civitate Dei podawał racjonalne wyjaśnienie faktu dlaczego Bóg potrzebował akurat 6 dni na stworzenie świata: bo 6 jest liczbą doskonałą, taką która jest równa sumie wszystkich swoich dzielników, za wyjątkiem ostatniego (samej liczby). Szóstka jest rzeczywiście liczbą doskonałą - pierwszą jaką odkryli matematycy. W starożytności (A.D. 1000) znano ich zaledwie cztery:
\begin{displaymath}P_1 = 6, \;\;\; P_2 = 28, \;\;\; P_3 = 496, \;\;\; P_4 = 8128, \end{displaymath}


chociaż Euklides (ca. 300 lat przed Chrystusem) wykazał, że jeżeli suma

\begin{displaymath}1 + 2 + 2^2 + 2^3 + \ldots 2^{k-1}\end{displaymath} (1.9)


jest liczbą pierwszą p, to ostatni składnik tej sumy przemnożony przez jej wartość $ 2^{k-1}\times p$ jest liczbą doskonałą (parzystą). Zauważ, że suma 1.9 to suma postępu geometrycznego i jest równa 2k - 1. Tak więc, zgodnie z pomysłem Euklidesa, postać ogólna parzystych liczb doskonałych to

P = 2k-1(2k-1). (1.10)


Rzeczywiście, po dwóch tysiącach lat Euler wykazał, że wszystkie parzyste liczby doskonałe muszą mieć właśnie taką postać. Nikt (!) nie znalazł jeszcze nieparzystej liczby doskonałej, ale też nikt (!!) nie wykazał, że takich liczb nie ma. Wzór Eulera-Euklidesa początkowo uważano za ,,uniwersalną'' formułę do generowania liczb doskonałych, ale np. dla k=11

\begin{displaymath}2^{11} - 1 = 2047 = 23\cdot 89\end{displaymath}


nie jest liczbą pierwszą, i w konsekwencji,

210(211-1)


nie jest liczbą doskonałą. Poszukiwania kolejnych liczb stały się możliwe dopiero w momencie zaadaptowania ,,liczb arabskich" (systemu dziesiątkowego) do rachunków, z końcem 16. wieku. Stosunkowo szybko znaleziono

\begin{eqnarray*}P_5 & = & 2^{12}(2^{13} -1) = 33 \;350 \;3336, \\P_6 & = & 2^......9 \;056\\P_7 & = & 2^{18}(2^{19} -1) = 137 \;438 \;691 \;328.\end{eqnarray*}
W siedemnastym wieku duszą zespołu poszukujących był wychowanek jezuickiego kolegium, franciszkanin ojciec Marin Mersenne. To właśnie Mersenne w swoim Cogitata PhysicoMathematica, 1644 podał (bez cienia dowodu, ani zdradzenia metodologii!), że wśród liczb typuMARIN MERSENNE, OFM
\begin{displaymath}M_n \equiv 2^n - 1\end{displaymath}


dla $n \leq 257$ tylko n = 2,3,5,7,13,17,19,31,67,127 i 257 daje liczby pierwsze (i odpowiednie liczby doskonałe). Warto tutaj dodać, że liczba M257 zapisana w postaci dziesiętnej składa się z ...78 cyfr! W rzeczywistości Mersenne popełnił 5 (tylko?, aż?) błędów, z których ostatni wyłapano ...50 lat temu! Wykazano (w dziewiętnastym wieku) , że: M61, M89, M107 są liczbami pierwszymi; natomiast M67 i M257 są liczbami złożonymi. Warto to zobaczyć, na przykład

\begin{displaymath}M_{67} = 2^{67} - 1 = 193 \;707 \;721 \times 761 \;838 \;257 \;287.\end{displaymath}


Jeżeli interesuje Cię "jak się to robi" zaglądnij na stronę o teorii liczb Gaussa. Oczywiście, wraz z erą komputerów poszukiwania liczb doskonałych ruszyły z kopyta. O ile do roku 1914 znano tylko 12 liczb doskonałych, to w ciągu ostatniego pół-wieku znaleziono ich jeszcze 21. Największa (A.D. 1994) liczba doskonała to

\begin{displaymath}P_{33} = 2^{859\,432}(2^{859\,433} -1).\end{displaymath}


(Jej postać dziesiętna to 517 431 cyfr.)

Liczby zaprzyjaźnione to takie pary liczb, z których każda jest równa sumie podzielników drugiej (jak zwykle spośród wszystkich podzielników danej liczby odrzucamy ją samą. Znana już Pitagorejczykom para to 220 i 284; podzielniki 220 rzeczywiście dają:

1+ 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284


a podzielniki 284

1+ 2 + 4 + 71 +142 = 220.


Przez dobre dwa tysiące lat para ta była właściwie jedyną znaną ,,powszechnie'', chociaż arabski matematyk z 9. wieku, Thabit ibn Kurrah, podaje regułę wyszukiwania liczb zaprzyjaźnionych: jeżeli trzy liczby: $ p = 3\cdot 2^{n-1}-1, \; q = 3\cdot 2^n-1$ oraz $r =9\cdot 2^{2n-1} - 1$, są wszystkie liczbami pierwszymi i n>2, to 2npq i 2nr tworzą parę liczb zaprzyjaźnionych.

Liczbami zaprzyjaźnionymi zajmowała się ta sama ekipa matematyków, która polowała na liczby pierwsze: Mersenne, Fermat, a także Kartezjusz. Euler podaje listę 64 zaprzyjaźnionych par, z których dwie pary okazały się (po blisko dwustu latach) ,,nieprzyjazne''. Dzisiaj znamy prawie 8000 zaprzyjaźnionych par, których składniki potrafią być rzędu 109. Nikt jednak nie znalazł odpowiednika ogólnego wzoru, służącego do generowania wszystkich parzystych liczb doskonałych (1.10), który mógłby być użyty do generowania wszystkich zaprzyjaźnionych par. Szkoda? Może i nie. Dzisiaj już wiara w zaprzyjaźnione liczby wygasła, i nikt nie korzysta z przykładu średniowiecznego księcia, którego liczbowa wartość imienia wynosiła 284 i który pozostał do śmierci kawalerem, bo nie mógł znaleźć narzeczonej, której imię miałoby wartość 220. 


nextupprevious
Next:Liczby przeróżne ...Up:Magia i mistyka liczb;Previous:Magia i mistyka liczb;
Andrzej Lenda

1999-04-11