Paradoks petersburski

Gracz A rzuca monetą, do momentu aż wyrzuci orła. Załóżmy, że następuje to w n-tym rzucie. Gra się kończy, a gracz A dostaje od krupiera premię, która wynosi 2^n-1 rubli (jak Petersburg, to Petersburg!), a więc : 1, 2, 4, 8... Ile powinien wpłacić krupierowi gracz A, aby gra ,,była uczciwa'', to znaczy aby wartość oczekiwana wygranej była równa wpłaconej kwocie? Rozwiązanie paradoksu nie jest łatwe. Prawdę mówiąc - nie doczekaliśmy się jeszcze w pełni satysfakcjonującego rozwiązania. Problem sprowadza się do obliczenia wartości wygranej E(W) gracza A, a ta okazuje się ... nieskończenie wielka! Rzeczywiście, oznaczając przez p_k prawdopodobieństwo zakończenia gry w k-tym rzucie, a przez w_k wygraną wówczas premię (2^k-1) mamy

$$E(W) = \sum^\infty_{k=1} p_k w_k = \sum^\infty_{k=1} \left(\f... ...k \times 2^{k-1} = \frac 1 2 + \frac 1 2 + \frac 1 2 + \ldots.$$

Czyli gracz A - statystycznie - zawsze ma szanse wygrać, niezależnie od tego jaki kapitał początkowy wpłaci do krupierowi! Kłóci się ten wynik z naszym ,,zdrowym'' rozsądkiem, a także z ...doświadczalnymi próbami wyznaczenia E(W). Słynny markiz de Buffon (ten od określania wartości liczby $\pi$ metodami losowymi) przeprowadził 2048 prób. W 1061 orzeł wypadł za pierwszym razem, w 494 - za drugim, w 232 - za trzecim, w 137 - - za czwartym, w 56 - za piątym. Kolejne wyniki to: 29 gier z orłem w szóstym rzucie, 25 - w siódmym, 8 - w ósmym, 6 - w dziewiątym. Łatwo policzyć, że suma premii w tych 2048 grach wyniosłaby 10 057 rubli, z czego wynika, że E(W) miałaby wynosić niecałe 5 rubli. Petersburski paradoks był dyskutowany przez wielu słynnych matematyków i ...dalej pozostaje paradoksem. Dla pocieszenia - spróbuj policzyć E(W) dla premii wynoszącej q rubli, przy 0 < q <2. Na przykład dla q=1,5 E(W) = 2.