Liczby zespolone - trochę historii

W połowie 15. wieku problemem No.1 matematyki stało się rozwiązanie równanie trzeciego stopnia. Można powiedzieć, że czas był to najwyższy! Równanie drugiego stopnia umieli już rozwiązywać ... rachmistrze sumeryjscy, 2000 lat przed Chrystusem. Przez niewytłumaczalny kaprys historii rozwoju ludzkiego intelektu problem ,,o stopień wyższy'' czekał na rozwiązanie następne trzy i pół tysiąca lat. Rozwiązanie równanie trzeciego stopnia wiąże się zazwyczaj z nazwiskiem Girolamo Cardano (1501-1576), chociaż wydaje się, że ten niewątpliwie wszechstronny uczony - prawdziwy ,,człowiek Renesansu'' wykorzystał w swoich dziełach Practica Mathematicae (1539) i Ars Magna (1545) wyniki uzyskane przez współczesnego mu (i z pewnością nie ustępującego rangą) Nicolo Tartaglia (1500-1557) , który zresztą również ,,inspirował'' się wynikami działającego o pół wieku wcześniej Bolończyka Scipione del Ferro (1465-1526). Technika znalezienia pierwiastków równania

x³ + ax² + bx + c = 0

polegała na sprowadzeniu równania - poprzez podstawienie

$$x = y - \frac a 3 \; \mbox{\rm ;} \;\;\;\; p = b - \frac{a^2}... ...;\;\; q = - \left( \frac{2a^3}{27} - \frac{ab}{3} + c\right)$$

- do pozbawionego wyrazu z drugą potęgą równania:

y³ = py + q.

To właśnie Tartaglia pokazał, że ostatnie równanie ma rozwiązanie

$$y = \sqrt[3] { \frac q 2 + \sqrt{\frac{q^2}{4} - \frac{p^3}{2... ...qrt[3] { \frac q 2 - \sqrt{\frac{q^2}{4} - \frac{p^3}{27} } }.$$

Jak nietrudno zauważyć, dla (q/2)² < (p/3)³ wielkość występująca pod kwadratowym pierwiastkiem staje się ujemna. I tak na przykład ,,historyczne równanie'', opisywane przez Rafaela Bombelliego, ostatniego z wielkich bolońskich matematyków 16. wieku

x³ = 15x +4 (1.7)

miałoby mieć - zgodnie ze wzorem Cardana-Tartaglii - rozwiązanie

$$x = \sqrt[3]{2 + \sqrt{-121} } + \sqrt[3]{2 - \sqrt{-121} }.$$ (1.8)

Występujące pod kwadratowym pierwiastkiem -121 przeczyło zdrowemu (szesnastowiecznemu) rozsądkowi. Ale Bombelli wiedział, że rozwiązaniem równania 1.7 są ,,prawdziwe'' (rzeczywiste liczby): 4 oraz $-2 \pm \sqrt{3}$. Rewolucyjny pomysł Bombelliego polegał na założeniu, że występujące w rozwiązaniu 1.8 pierwiastki trzeciego stopnie to liczby zespolone, będące sumą liczby ,,zwykłej'' (rzeczywistej) i ,,urojonej'' - powstającej z przemnożenia pewnej liczby rzeczywistej przez $\sqrt{-1}$. W dodatku oba pierwiastki trzeciego stopnia powinny się różnić między sobą pojawiającym się w sumie części rzeczywistej i urojonej znakiem, w sposób identyczny do tego w jaki różnią się wielkości występujące pod znakiem pierwiastka, to znaczy

$$\sqrt[3]{2 + \sqrt{-121} } \equiv \alpha + \beta\sqrt{-1} \;\... ...\; \sqrt[3]{2 - \sqrt{-121} } \equiv \alpha - \beta\sqrt{-1},$$

gdzie $\alpha$ i $\beta$ należałoby wyznaczyć. Przy takim założeniu:

$$\begin{eqnarray*}2 + \sqrt{-121} & = & = 2 + 11\sqrt{-1} = (\alpha + \beta\sqrt{... ...ha(\alpha^2 - 3\beta^2) + \beta (3\alpha^2 - \beta^2)\sqrt{-1}. \end{eqnarray*}$$

Ostatnie równość będzie spełniona, jeżeli

$$\alpha(\alpha^2 - 3\beta^2) = 2 \;\;\;\; \mbox{\rm oraz} \;\;\;\; \beta (3\alpha^2 - \beta^2) = 11.$$

Powyższe równania mają - w klasie liczb całkowitych - rozwiązania dla $\alpha = 1$ lub 2, oraz dla $\beta = 1$ lub 11. Bliższa analiza wykazuje, że jedyny akceptowalny wybór to $\alpha = 2$ i $\beta = 1$, a więc rozwiązaniem 1.8 będzie

$$\begin{eqnarray*}x & = & \sqrt[3]{2 + \sqrt{-121} } + \sqrt[3] {2 - \sqrt{-121} ... ...\\ & = & (2 + 1\times \sqrt{-1}) +(2 - 1\times \sqrt{-1}) = 4. \end{eqnarray*}$$

W ten sposób właśnie pojawiły się ,,liczby zespolone'', zawierające w sobie urojoną (a więc nieistniejącą) wielkość - kwadratowy pierwiastek z -1. Przez przeszło dwieście lat pozostawały pełną abstrakcją matematyczna - abstrakcją, która odpowiednio manipulowana mogła jednak doprowadzić do realnych wyników. Dopiero na początku osiemnastego wieku powstała nowa koncepcja - wykorzystania tych tworów matematycznych do opisu płaszczyzny. Tak jak zbiór liczb rzeczywistych można w sposób jedno-jednoznaczny przedstawić przy pomocy osi liczbowej x (każdy punkt osi odpowiada pewnej liczbie rzeczywistej od $-\infty$ do $\infty$ i odwrotnie), tak można wprowadzić jedno-jednoznaczne przyporządkowanie pomiędzy parami liczb i punktami płaszczyzny. Uporządkowaną parę liczb (a,b) traktować możemy jako współrzędne końca wektora, którego początek pokrywa się z początkiem układu współrzędnych. Osie tego układu to dwie ,,tradycyjne'' osie liczbowe, 0x i 0y, z tym, że jednostką osi 0x jest 1, a osi 0y - urojona jednostka to $i\equiv \sqrt{-1}$. Te jednostki spełniają jednocześnie role wersorów osi, w tym sensie że dowolny punkt na płaszczyźnie zespolonej (zwanej też płaszczyzną Arganda) możemy przedstawić jako $z = 1\cdot a + i b$. Współrzędna x-owa, (a) to część rzeczywista liczby zespolonej, natomiast współrzędna y- owa - b to jej część urojona. Analogicznie mówimy o rzeczywistej osi 0x i osi urojonej 0y płaszczyzny 0xy. W dalszym jednak ciągu przydatność liczb zespolonych była mało widoczna. Można ich było użyć do zgrabnego zapisu pewnych operacji na wektorach w przestrzeni dwuwymiarowej na płaszczyźnie. Dopiero w drugiej połowie 19. wieku zaczęła się objawiać potęga algebry liczb zespolonych, a zwłaszcza teorii funkcji zmiennej zespolonej. W fizyce wielkości zespolone mają często znakomitą interpretację formalną - np. zespolony współczynnik załamania to wielkość fizyczna składająca się z dwóch części: rzeczywistej - odpowiedzialnej za zjawisko załamania fali padającej na granicę dwóch ośrodków i urojonej - która odpowiada za zjawisko absorpcji.