Linie regresji I rodzaju

Dwuwymiarowa zmienna losowa

Jak wiemy, dla dowolnego rozkładu jednowymiarowej zmiennej losowej możemy policzyć jej wartość oczekiwaną. Jeżeli dla dowolnego rozkładu, to oczywiście dla rozkładów warunkowych dwuwymiarowej zmiennej losowej również. Załóżmy, że mamy dany rozkład zmiennej losowej dwuwymiarowej. Dla uproszczenia przyjmijmy, że jest to zmienna losowa dyskretna przyjmująca wartości (xi , yj ) z prawdopodobieństwem pij, a odpowiednie rozkłady brzegowe mają postać h(xi ) i g(yj ). Weźmy pod uwagę rozkład warunkowy zmiennej losowej X względem Y. Wówczas zgodnie z definicjami wartości oczekiwanej i gęstości prawdopodobieństwa rozkładu warunkowego możemy zapisać odpowiednio dla rozkładu dyskretnego i ciągłego:

Proszę zauważyć, że E(X|Y=y) jest funkcją y.

Zbiór punktów (x,y) spełniających równanie:
x = E(X|Y=y)
nazywamy linią regresji I rodzaju zmiennej loswej X względem Y.
Oczywiście w podobny sposób możemy zdefiniować linię regresji zmiennej Y względem X.

Zbiór punktów (x,y) spełniających równanie:
y = E(Y|X=x)
nazywamy linią regresji I rodzaju zmiennej loswej Y względem X.
W przypadku zmiennej losowej dyskretnej linia regresji I rodzaju jest zbiorem skończonej lub przeliczalnej liczby punktów (a więc nie jest linią w sensie definicji geometrycznej !). Dla zmiennej losowej ciągłej jest to linia mająca co najwyżej przeliczalną liczbę punktów nieciągłości.
Linia regresji I rodzaju zmiennej X względem Y mówi nam jak zmieniają się wartości oczekiwane (średnie) zmiennej losowej X gdy zmianie ulega zmienna losowa Y.
Wysyłkowy dom towarowy