Jednoczesny rzut kostką i monetą

Problem:
Załóżmy, że gramy w grę, w której rzucamy jednocześnie monetą i kostką do gry. Jeżeli na monecie wypadł orzeł to jako wynik traktujemy liczbę oczek na kostce, w przeciwnym przypadku wynikiem będzie liczba oczek przemnożona przez dwa. Przeanalizujmy możliwe do otrzymania wyniki i określmy prawdopodobieństwo tego, że w pojedynczej grze uzyskamy poniżej n punktów.
Rozwiązanie:
Rozpiszmy wszystkie możliwe układy moneta - kostka i odpowiadające im wyniki gry:
moneta kostka wynik moneta kostka wynik
O 1 1 R 1 2
O 2 2 R 2 4
O 3 3 R 3 6
O 4 4 R 4 8
O 5 5 R 5 10
O 6 6 R 6 12

Wynik pojedynczej gry stanowi zmienną losową, nazwijmy ją - tradycyjnie - X. Na podstawie tabeli częstości występowania poszczególnych wyników możemy ułożyć tabelę gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej X. Górny wiersz tabeli zawiera wartości przyjmowane przez zmienną losową, dolny zaś prawdopodobieństwa z jakimi wartości te będą przyjmowane:
xi 1 2 3 4 5 6 8 10 12
f(xi)=P(X=xi) 1 / 12 2 / 12 1 / 12 2 / 12 1 / 12 2 / 12 1 / 12 1 / 12 1 / 12

Zgodnie z definicją dystrybuanty jest to funkcja, która każdej wartości przyjmowanej przez zmienną losową xi przyporządkowuje liczbę będącą prawdopodobieństwm tego, że zmienna losowa X przyjmie wartości mniejsze od xi. Tak więc dystrybuanta zmiennej losowej X będzie miała postać:
xi X<1 2 3 4 5 6 8 10 12 X>12
F(xi)=P(X<xi) 0 / 12 1 / 12 3 / 12 4 / 12 6 / 12 7 / 12 9 / 12 10 / 12 11 / 12 12 / 12

Zmienna losowa X jest zmienną dyskretną, więc funkcja prawdopodobieństwa będzie również funkcją dyskretną. Możemy ją przedstawić na wykresie jako wykres punktowy (ewentualnie słupkowy). Dystrybuanta zawsze jest funkcją co najmniej lewostronnie ciągła, nawet dla dyskretnej zmiennej losowej. Dlatego jej wykres będzie wyglądał jak na poniższym rysunku.