Piłka na skwerze
Problem:
Na skwerze o kształcie półkola
dzieci grają w piłkę. Zdefiniujmy układ współrzędnych tak jak na rysunku. Wówczas położenia na osi
x, w których piłka uderza o ziemię możemy potraktować jako zmienną losową X. Zakładając, że piłka
z jednakowym prawdopodobieństwem trafia w dowolny punkt na skwerze spróbujemy określić z
jakim prawdopodobieństwem zmienna losowa X będzie przyjmować różne wartości z przedziału od -
a do +a.
Rozwiązanie:
Jeżeli prawdopodobieństwo znalezienia się piłki w dowolnym punkcie skweru jest takie samo, to prawdopodobieństwo, że współrzędna X położenia piłki będzie mniejsza od pewnego x będzie równe stosunkowi pola tej części skweru, która znajduje się na lewo od prostej X=x (pomarańczowy obszar na rysunku) do całkowitego pola powierzchni skweru.
Pole powierzchni tego obszaru możemy policzyć jako całkę podwójną po X i po Y, przy czym X będzie się zmieniał od -a do x, dolną granicą całkowania po Y będzie zero, górną zaś funkcja zmiennej X opisująca półokrąg:
Uwzględniając, że prawdopodobieństwo uzyskania przez zmienną losową X wartości poniżej x jest dystrybuantą zmiennej losowej możemy zapisać:
Znając dystrybuantę, możemy oczywiście bez trudu wyznaczyć rozkład gęstości prawdopodobieństwa dla zmiennej losowej X:
