Liniowa funkcja zmiennej losowej
Problem:Jeżeli zmienna losowa Y jest liniową funkcją zmiennej losowej X, to znaczy Y = aX + b, gdzie a i b są niezerowymi stałymi to gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej Y możemy obliczyć albo z ogólnego wzoru przedstawionego na poprzedniej stronie albo w sposób przedstawiony poniżej.
Rozwiązanie:
Zgodnie z definicją, dystrybuantę zmiennej losowej Y możemy zapisać jako:
Jeżeli stała a>0 to:
a jeśli stała a<0 to:
Proszę zwrócić uwagę, że już na tym etapie wyraziliśmy dystrybuantę zmiennej losowej Y FY poprzez dystrybuantę zmiennej losowej X FX którą znamy.
Ostatecznie więc dystrybuantę zmiennej Y możemy zapisać jako:
Co po zróżniczkowaniu daje funkcję gęstości prawdopodobieństwa zmiennej Y:
Powyzszy przykład zaczerpnąłem z książki Witolda Kloneckiego.