WVS - Wstep

Zadanie:
W celu wyznaczenia nieznanego oporu pewnego opornika przyłączono go do regulowanego źródła napięcia, a następnie zmieniając napięcie mierzono jaki prąd płynie przez opornik. Otrzymano następujące wyniki:

U [V] 1 2 3 4 5

I [A] 2.17 4.41 6.57 8.86 11.03

Wyznaczyć nieznany opór R.

Rozwiązanie:
Zgodnie z prawem Ohma napięcia na oporze jest równe iloczynowi tego oporu i prądu przez niego płynącego. Stąd zależność prądu od napięcia będzie miała postać:

Jest więc to zależność postaci liniowej:

w której tangens kąta nachylenia prostej a odpowiada odwrotności oporu, a resztkowy prąd I₀ powinien w idealnym przypadku wynosić zero.
Tak więc punkty pomiarowe powinny ułożyć się na pewnej prostej. Prosta, która najlepiej do tych punktów pasuje to właśnie prosta regresji.

Prostą tą policzymy zgodnie ze wzorem:

Odwrotność współczynnika proporcjonalności będzie odpowiadała poszukiwanemu oporowi.
Tak więc musimy policzyć, średnie wartości zmierzonych prądów i napięć, ich odchylenia standartowe (jako pierwiastki wariancji) oraz kowariancję. Obliczenia przeprowadzimy w tabelce:

Zauważmy, że ponieważ mamy pięć punktów pomiarowych, to prawdopodobieństwo wystąpienia każdego z nich jest takie samo i wszystkie obliczenia możemy uprościć, tak że najpierw liczymy wszystkie iloczyny, potem sumujemy i dzielimy przez liczbę pomiarów, np:

Wiersz szósty stanowi sumę wierszy od 1 do 5. Wiersz siódmy to wartości z wiersza szóstego podzielone przez 5. Teraz wystarczy policzyć współczynniki a i b oraz poszukiwany opór:

Jak widać współczynnik b nie jest dokładnie zerowy. Ta drobna różnica może wynikać z niedokładności wykonanych pomiarów, błędnego wyskalowania przyrządów itp.