1. Rozkład dwumienny; przykłady. Liczba stanów dozwolonych dla układu makroskopowego.

Kiedy mamy do czynienia z dużą ilością obiektów, traktujemy je jako zespół statystyczny, do którego stosujemy pojęcia prawdopodobieństwa. Zespół statystyczny składa się z bardzo dużej liczby N układów "podobnych" do siebie. Jeżeli pewien określony wynik doświadczenia oznaczony został wskaźnikiem r i spośród N układów zespołu wynik ten uzyskany został na Nr układach, wówczas iloraz

Wartość średnia jest parametrem, który wskazuje główną wartość, wokół której rozrzucone będą poszczególne wartości u. Byłoby zatem pożyteczne wprowadzić jakiś parametr, który byłby miarą rozrzutu możliwych wartości u dokoła wartości średniej . Wartość średnia wielkości , () nie może być taką miarą, ponieważ jest średnio biorąc jednakowo często dodatnie jak i ujemne. Natomiast wielkość ()² nie może być nigdy ujemna. Wartość średnią tej wielkości zdefiniowaną jako:

Wariancja może stać się równa zeru tylko wtedy, gdy wszystkie wartości u_r równe będą wartości średniej . Staje się ona coraz większa w miarę wzrostu prawdopodobieństwa występowania wartości u różniących się znacznie od . Wariancja stanowi zatem dogodną miarę rozrzutu wartości zmiennej u.

Miarą liniową rozrzutu wielkości u jest pierwiastek kwadratowy z wariancji,, czyli tzw. odchylenie standardowe:

Przykłady zastosowania rozkładu dwumiennego

Przykład 1

Rozważmy idealny układ N cząstek o spinie połówkowym, które są statystycznie niezależne. Przyjmujemy - składową momentu magnetycznego (wzdłuż kierunku "do góry") dla i-tego spinu. Interesuje nas całkowity moment magnetyczny M wzdłuż osi skierowanej "do góry":

Aby znaleźć ()², musimy pomnożyć przez siebie sumę

Pierwsza suma daje wszystkie człony kwadratowe otrzymane z pomnożenia przez siebie tych samych wyrazów sumy. Suma podwójna zaś daje wszystkie iloczyny różniących się od siebie składników sumy. Każdy z tych iloczynów jest średnio równy zeru, jako że jest on równie często dodatni jak i ujemny. A zatem wzór zredukuje się do zwykłej sumy wyrazów kwadratowych :

Z powyższych wzorów wynika, w jaki sposób i zależą od całkowitej liczby N cząstek spinowych w naszym układzie. Względna wartość w stosunku do jest proporcjonalna do , czyli maleje z rosnącym N.

Przykład 2

Rozważmy układ spinów w polu magnetycznym, które wyróżnia kierunek "do góry" z prawdopodobieństwem p=0.51, więc q=0.49. Oznaczamy momenty ustawione "w górę" =, a w dół =-. Zatem średni moment magnetyczny względem kierunku do góry wynosić będzie Wariancja momentu magnetycznego cząstki wynosi .
Jednak a także .
A zatem otrzymamy . Ze względu na to, że p+q=1, otrzymujemy . Ostatecznie , oraz . Odchylenie standardowe wielkości M wynosi: .

Pole magnetyczne, w którym znajduje się układ, jest słabe (np. pole ziemskie), odpowiadające wartościom prawdopodobieństw p=0.51 i q=0.49. Podstawiając wartości i otrzymamy średni całkowity moment magnetyczny układu N cząsteczek

Rozważmy najpierw przypadek, w którym całkowita liczba cząsteczek jest stosunkowo niewielka, np. N=100, co daje , czyli

>

Jeżeli natomiast rozważymy układ o rozmiarach makroskopowych, w którym liczba cząstek jest rzędu liczby Avogadro N=10²⁴, to , czyli

<<

Przykład 3

Interesuje nas rozmieszczenie cząsteczek w gazie. W naczyniu o objętości V₀ znajduje się gaz doskonały złożony z N cząsteczek. Jeżeli gaz znajduje się w stanie równowagi, to prawdopodobieństwo p znalezienia się jakiejś cząsteczki w objętości V wynosi

, ,

Dla ustalonych prawdopodobieństw p i q błąd względny maleje ze wzrostem liczby cząstek N, jak .

Liczba stanów dozwolonych dla układu makroskopowego

Załóżmy, że mamy do czynienia z układem makroskopowym, dla którego dane są parametry zewnętrzne wyznaczające poziomy energetyczne układu. Całkowitą energię układu oznaczymy przez E. Aby ułatwić policzenie stanów, zgrupujemy je według energii, dzieląc obszar energii na równe małe przedziały o stałej odległości . Przyjmujemy, że jest bardzo małe w skali makroskopowej, tzn. bardzo małe w porównaniu z całkowitą energią układu, ale duże w skali mikroskopowej, tzn. znacznie większe niż energia pojedynczej cząstki układu, a więc także dużo większe niż odstępy pomiędzy sąsiednimi poziomami energetycznymi układu. Każdy przedział obejmuje bardzo wiele możliwych stanów kwantowych układu.
Oznaczmy: liczba stanów, których energie znajdują się w przedziale pomiędzy E i E+

, gdzie jest niezależne od wielości przedziału . Wielkość nazywamy gęstością stanów. Jest ona równa liczbie stanów przypadających na jednostkowy przedział energii przy danej energii E.

Względna zmiana wielkości przy przejściu z jednego przedziału energii do sąsiedniego jest bardzo mała. Zatem można traktować jako gładką funkcję energii E.

można otrzymać także, gdy znamy wielkość :
całkowita liczba stanów, których energie są mniejsze niż E.

W takim przypadku, liczby stanów o energiach znajdujących się pomiędzy E i E+ otrzymamy różniczkując :

Przykład 1

W jaki sposób obliczyć można liczbę stanów dla pewnego prostego układu? Przypuśćmy, że wewnątrz jednowymiarowego pudła o długości L porusza się swobodnie cząstka o masie m. Możliwe wartości poziomów energetycznych takiego układu dane są wzorem:

Przykład 2

Załóżmy, że wewnątrz trójwymiarowego pudła (sześcianu o krawędzi L) porusza się swobodnie cząstka o masie m. Przyjmujemy, że L_x=L_y=L_z=L. Zatem

Oszacujmy zależność liczby stanów (lub ) od energii makroskopowego układu cząstek E. Każdy taki układ jest opisany przy pomocy zbioru f liczb kwantowych (f - liczba stopni swobody układu jest rzędu liczby Avogadro). Z każdą liczbą kwantową związany jest pewien przyczynek do całkowitej energii E układu. Przez oznaczymy całkowitą liczbę możliwych wartości tej liczby kwantowej, dla których związane z nimi przyczynki energii są mniejsze od . Oczekujemy, że rośnie w przybliżeniu proporcjonalnie do wielkości przedziału energii (= ). Możemy napisać: , gdzie jest rzędu jedności.
Rozważmy teraz cały układ o f stopniach swobody. Różnica między energią E a najmniejszą jej możliwą wartością E₀ winna być w przybliżeniu f razy większa od średniej energii przypadającej na jeden stopień swobody (ściślej mówiąc od nadwyżki nad jej najmniejszą możliwą wartością : .
Całkowitą liczbę stanów o energii całkowitej mniejszej niż E otrzymamy: , gdzie związane jest z E poprzednią zależnością.
Liczbę stanów o energii zawartej pomiędzy E a E+ otrzymamy:

W miarę wzrostu energii E układu rośnie energia przypadająca na jeden stopień swobody. Odpowiednio też wzrasta stosunkowo powoli liczba stanów () przypadająca na jeden stopień swobody. Ale ponieważ wykładniki f-1 w dwóch ostatnich wzorach są olbrzymie, to liczba stanów () dla układu o f stopniach swobody rośnie bardzo szybko.

Liczba stanów dozwolonych dla każdego zwyczajnego układu makroskopowego jest niezwykle szybko rosnącą funkcją jego energii E.

Otrzymać można następujące przybliżone wzory na zależność od E:

Dla każdego zwyczajnego układu zachodzi w przybliżeniu:

Dla układu makroskopowego liczba stanów o energiach zawartych pomiędzy E a E+ jest w bardzo dobrym przybliżeniu taka, że dla E E₀ nie zależy od :