9. Skok potencjału. Bariera potencjału. Zjawisko tunelowania.

Przedyskutujemy teraz rozwiązania niezależnego od czasu równania Schrödingera dla cząstki, której energię potencjalną można przedstawić w postaci funkcji V(x) mającej różne stałe wartości na kilku kolejnych odcinkach osi x.

By rozwiązanie było fizycznie poprawne, funkcję własną i ich pochodne muszą mieć następujące własności:

musi być skończona,

,		musi być jednoznaczna,
,		musi być ciągła.

Warunki te zapewniają, że funkcje własne są matematycznie "gładkimi" funkcjami, a więc i mierzalne wielkości fizyczne obliczone na podstawie znajomości tych funkcji własnych będą także zmieniać się w sposób gładki.

Skok potencjału

Warunki początkowe: cząsteczka nadlatuje z lewej strony na barierę potencjału od której może się odbić lub wniknąć do obszaru II

1. E < V₀

   Załóżmy, że cząstka o masie m i całkowitej energii E znajduje się w obszarze x < 0 i porusza się w kierunku punktu, w którym V(x) zmienia się skokowo. Według mechaniki klasycznej cząstka będzie się poruszała swobodnie w tym obszarze do chwili, gdy osiągnie punkt x = 0, w którym zadziała na nią siła działająca w kierunku malejących x. Dalszy ruch cząsteczki zależy, klasycznie biorąc, od związku między E i V₀, co jest również słuszne w mechanice kwantowej.
   
   W celu kwantowego określenia ruchu naszej cząstki musimy znaleźć funkcję falową, która będzie rozwiązaniem równania Schrödingera dla potencjału schodkowego przy energii całkowitej E<V₀. Ponieważ mamy do czynienia z równaniem Schrödingera niezależnym od czasu, problem nasz sprowadza się do rozwiązania go i znalezienia funkcji własnych. Dla takiego potencjału oś x rozpada się na dwa obszary. Równanie Schrödingera w każdym z tych obszarów możemy zapisać:
   

   	x<0
   	x>0

   
   Te dwa równania rozwiązuje się oddzielnie. Wówczas funkcję własną ważną dla całego obszaru x konstruuje się przez połączenie razem w punkcie x = 0 tych dwóch rozwiązań w sposób spełniający warunki, które wymagają, aby i były wszędzie skończone i ciągłe.

   Rozwiązanie pierwszego to:

   Rozwiązanie drugiego:
   ale funkcja musi być ograniczona w , więc C = 0.

   Wiemy, że

   
   A - określa amplitudę fali padającej
   B - amplituda fali odbitej od bariery
   D - wiązka przepuszczona przez barierę

   

   Rozwiązując ten układ równań otrzymujemy :

        

   Można obliczyć tzw. współczynnik odbicia

   .

   Oznacza to, że fala zostanie odbita całkowicie, ale nie od krawędzi progu, tylko wniknie nieco w głąb.
   

   Oblicza się także tzw. współczynnik wnikania

   którego niezerowa wartość oznacza, że cząsteczka wnika do bariery, a gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząsteczki w obszarze zabronionym maleje wykładniczo z x.

2. E > V₀

   

   Całe rozumowanie przeprowadzamy podobnie jak poprzednio.
   
   Rozwiązanie: Z warunków brzegowych przyjmujemy D=0 , gdyż w obszarze II fala nie ma od czego się odbić i porusza się tylko w prawo

   
   

   Ponieważ kwantowo istnieje nieznikająca wiązka odbita, mimo, iż klasycznie cząsteczka w całości przechodzi do obszaru II.

Jeżeli E >>V₀ to i oraz , co oznacza, że cząsteczka zachowuje się zgodnie z przewidywaniami klasycznymi.

Jeżeli jednak V₀<0 i E₀<<|V₀| (skok potencjału silnie ujemny) to k₁ << k₂ oraz i ; następuje całkowite odbicie wiązki padającej (w przeciwieństwie do mechaniki klasycznej, która przewiduje całkowite przejście wiązki do obszaru II). Ten efekt kwantowy obserwuje się w fizyce jądrowej, np. wtedy, gdy padający neutron o niewielkiej energii ulega odbiciu napotykając silny potencjał przyciągający przy zbliżaniu się do powierzchni jądra.

Bariera potencjału

Rozwiązaniem równania Schrödingera (E<V₀) są w każdym z obszarów odpowiednie funkcje:

W przypadku bariery mamy do czynienia z ciekawym zjawiskiem - tunelowaniem. Polega ono na tym, że istnieje pewne niezerowe prawdopodobieństwo znalezienia cząstki po drugiej stronie bariery potencjału, mimo że E<V₀. W rzeczywistości zjawisko tunelowania obserwowane jest w dobrze wszystkim znanym zjawisku: dwa skręcone druty przewodzą prąd pomimo, że na ich powierzchni często znajdują się tlenki i zabrudzenia, które są dobrymi izolatorami. Elektrony tunelują przez tę barierę i prąd może płynąć. Zjawisko tunelowania wykorzystano w tzw. diodach tunelowych. Zjawisko tunelowania obserwujemy również w czasie rozpadów promieniotwórczych.