10. Stany związane - nieskończona studnia potencjału.

Jeżeli energia cząsteczki nie pozwala jej na opuszczenie określonego obszaru powstają tzw. stany związane.

Potencjał nieskończenie głębokiej prostokątnej studni ma tę własność, że wiąże cząstkę o skończonej energii E 0. W mechanice klasycznej dozwolona jest dowolna wartość energii, natomiast w mechanice kwantowej dozwolone są tylko pewne dyskretne wartości własne E_n. Dla niezbyt dużych wartości liczby kwantowej n odpowiadające im wartości własne i funkcje własne użyte być mogą jako przybliżenie odpowiadających im wartości własnych i funkcji własnych dla potencjału o dużym, lecz skończonym V₀.

Nieskończona studnia potencjału.

W obszarach I i III cząsteczka nie występuje i funkcja falowa zanika

Można też szukać rozwiązań postaci

,

Dochodzimy więc do wniosku, że dozwolone są tylko pewne wartości energii całkowitej E, czyli że jest ona skwantowana.

Szczególnie interesująca jest pierwsza wartość własna energii dla nieskończenie głębokiej studni prostokątnej, którą nazywa się energią drgań zerowych. Jest to najniższa możliwa energia całkowita, jaką może mieć cząstka ograniczona przez potencjał nieskończenie głębokiej studni. Energia drgań zerowych nie jest równa zeru. Zjawisko to jest w zasadzie wynikiem zasady nieoznaczoności. Jeśli obszar, w którym przebywa cząstka jest ograniczony przez potencjał, wówczas znamy współrzędną x tej cząstki z niepewnością rzędu . Zatem niepewność x-owej składowej pędu tej cząstki musi być przynajmniej równa
.
Z zasady nieoznaczoności wynika, że cząstka związana przez ten potencjał nie może mieć całkowitej energii równej zeru, bo oznaczałoby to, że niepewność jej pędu też jest równa zeru. W szczególnym przypadku wartości własnej E₁ pęd jest równy co do wartości bezwzględnej
.
Cząstka może poruszać się w dowolnym kierunku; faktyczna więc wartość pędu nie jest określona i jego niepewność jest rzędu .

Wnioskujemy więc, że istnienie energii drgań zerowych wynika z konieczności istnienia ruchu zerowego. Stoi to w sprzeczności z zasadami fizyki klasycznej.

W analogiczny sposób można pokazać, że dla studni potencjału spełniającej warunek V(x)=0 dla 0   x   a otrzymywane funkcje falowe są postaci

Zatem

i unormowana funkcja falowa ma postać