idż do fizyka kwantowa.
1. Rozkład dwumienny; przykłady. Liczba stanów dozwolonych dla układu makroskopowego.

2. Definicja i własności temperatury bezwzględnej; temperatura układów w równowadze cieplnej; pomiar temperatury.

3. Entropia (definicja mikroskopowa, małe przekazy ciepła); stan równowagi.

4. Układ kontaktujący się termicznie ze zbiornikiem ciepła (rozkład kanoniczny).

5. Paramagnetyzm (prawo Curie). Ciepło właściwe oscylatora harmonicznego.

6. Średnia energia i średnie ciśnienie gazu doskonałego.

7. Twierdzenie o wiriale w zastosowaniu do gazu doskonałego. Gazy rzeczywiste.

8. Ogólne równanie stanu gazów doskonałych.

9. Twierdzenie o ekwipartycji energii (wyprowadzenie i przykłady).

10. Maxwellowski rozkład prędkości.

11. Entropia gazu doskonałego; równanie adiabaty.

12. Zasady termodynamiki i związki statystyczne. Sprawność silnika. Cykl Carnota.

13. Potencjały termodynamiczne (wyprowadzenia) i tożsamości Maxwella.

14. Prawo Steana-Boltzmana. Prawo Wina.

15. Stan równowagi pomiędzy fazami; równanie Clausiusa - Clapeyrona.

16. Układy otwarte. Statystyki kwantowe. Granica klasyczna.

17. Rozkład Plancka.

18. Gęstość stanów w przestrzeniach 1, 2, 3-wymiarowych. Periodyczne a sztywne warunki brzegowe.

19. Gaz elektronów swobodnych.

20. Półprzewodniki: gęstość nośników, prawo działania mas, potencjał chemiczny.

Notatki do wykładu z FIZYKI STATYSTYCZNEJ.
Opracowali: J. Ropka, B. Wróbel.
Konsultacje: J. Wolny


5. Paramagnetyzm (prawo Curie). Ciepło właściwe oscylatora harmonicznego.

Jako pierwszy przykład zastosowania funkcji rozdziału zbadamy właściwości magnetyczne substancji umieszczonej w zewnętrznym polu magnetycznym o indukcji B i zawierającej w jednostce objętości N0 atomów mających moment magnetyczny. Rozważmy szczególnie prosty przypadek, w którym każdy atom ma spin 1/2 i związany z nim moment magnetyczny . Substancję taką nazywać będziemy paramagnetykiem. Przypuśćmy, że substancja ta ma w danej chwili określoną temperaturę bezwzględną T. Nasuwające się pytanie brzmi:

Ile wynosi w takich warunkach średnia wartość składowej momentu magnetycznego pojedynczego atomu wzdłuż kierunku pola magnetycznego B?

Skupiamy uwagę na pojedynczym atomie, traktując pozostałe atomy, jakby tworzyły zbiornik ciepła o bezwzględnej temperaturze T (zaniedbujemy oddziaływanie między atomami). Każdy atom może znaleźć się w jednym z dwóch możliwych stanów: lub -:

E=B   P-
E=-B   P+

Prawdopodobieństwo, zgodnie z rozkładem kanonicznym, wynosi:

funkcja rozdziału, czyli suma po wszystkich stanach (w tym przypadku po dwóch):

Ponieważ bardziej prawdopodobne jest znalezienie atomu w stanie, w którym jego moment magnetyczny jest równoległy do kierunku B, więc średni moment magnetyczny musi być również skierowany zgodnie z B. Jeżeli temperatura T jest duża tzn. jeżeli

,

to prawdopodobieństwo równoległego ustawienia się momentu magnetycznego względem kierunku pola będzie prawie takie samo jak prawdopodobieństwo ustawienia antyrównoległego. W takim przypadku orientacje momentów magnetycznych będą prawie zupełnie przypadkowe, czyli 0.
Z drugiej strony, jeżeli temperatura T jest bardzo mała , tzn.
,

to prawdopodobieństwo równoległego ustawienia się momentu magnetycznego będzie dużo większe niż prawdopodobieństwo ustawienia się antyrównoległego, a zatem . Wyliczmy:

Pole magnetyczne ustawia spiny, a temperatura je rozrzuca.
Wykres prawdopodobieństwa P+, że moment magnetyczny jest skierowany równolegle do pola i prawdopodobieństwa P-, że moment ten skierowany jest antyrównolegle do pola, gdy indukcja przyłożonego pola wynosi B, a temperatura bezwzględna T.

Średni moment magnetyczny na jednostkę objętości substancji, czyli tzw. namagnesowanie lub magnetyzacja, skierowany jest zgodnie z polem magnetycznym, a jego wielkość jest równa:

,

gdzie N0 jest liczbą atomów w jednostce objętości.

Prawo Curie

dla
, gdzie jest stałym współczynnikiem proporcjonalności niezależnym od B i nazywamy go podatnością magnetyczną substancji:

Fakt, że jest odwrotnie proporcjonalne do bezwzględnej temperatury, jest znany pod nazwą prawa Curie.

Ogólnie, dla całkowitego momentu pędu J, możemy napisać:

gdzie g -czynnik Landego, BJ - funkcja Brillouina

Ciepło właściwe oscylatora harmonicznego.

Obliczanie ciepła właściwego oscylatora harmonicznego jest kolejnym przykładem na wykorzystanie funkcji rozdziału.

- energia oscylatora harmonicznego

Liczymy funkcję rozdziału:


Średnia energia oscylatora harmonicznego:

w powyższym wzorze składnik odpowiada za tzw. energię drgań zerowych.

w przypadku wysokich temperatur:

Ciepło właściwe oscylatora harmonicznego wynosi:

Dla (zanik eksponencjalny)
Dla

Wniosek:

Dla każdego oscylatora harmonicznego w odpowiednio wysokich temperaturach ciepło właściwe wynosi kB niezależnie od rodzaju oscylatora (tj. od odległości między poziomami). Jest to zgodne z zasadą ekwipartycji energii i prowadzi do prawa Dulonga – Petita dla ciepła molowego ciał stałych.

góra