Podstawowe definicje

Jednowymiarowa zmienna losowa

(Jeżeli nie zaznaczono inaczej duże litery X, Y ... oznaczają zmienne losowe, małe zaś x, y ... oznaczają wartości przyjmowane przez odpowiednie zmienne losowe)

Zmienną losową X nazywamy funkcję rzeczywistą określoną na przestrzeni zdarzeń elementarnych. Funkcja taka musi spełniać warunek, że dla każdych dwóch liczb a i b takich, że a<b istnieje określone prawdopodobieństwo, że zmienna X przybierze wartość z przedziału (a,b).
Na przykład:
Wzrost ludzi jest zmienną losową. Dla dowolnych dwóch liczb np. 120 i 140 możemy określić (badając dużą liczbę ludzi) prawdopodobieństwo, że przypadkowo wybrana osoba, będzie mieć wzrost pomiędzy 120cm a 140cm.
Zmienną losową może być ocena z kolokwium dla danej grupy studenckiej. Zliczając liczbę poszczególnych ocen w grupie można określić np. prawdopodobieństwo, że przypadkowo wylosowany student uzyskał ocenę z zakresu pomiędzy 3.5 a 4.5
Czas przejścia z Hali Gąsienicowej na Świnicę przez Zawrat też może być zmienną losową. Różni turyści w różnych warunkach atmosferycznych będą w różnym czasie pokonywać tą trasę. Wykonując odpowiednio duże badania statystyczne, możemy określić prawdopodobieństwo tego, że konkretny turysta wychodząc z Hali Gąsienicowej dotrze na Świnicę w ciągu 3 - 4 godzin.
Wynik pomiaru rezystancji opornika schodzącego z taśmy produkcyjnej może być zmienną losową.
Wynik pomiaru wytrzymałości liny wspinaczkowej może być zmienną losową.

Zauważmy, że zmienną losową mogą być również wielkości, które bezpośrednio nie wyrażają się wartościami liczbowymi. Wystarczy, żebyśmy potrafili stworzyć liczbową reprezentację wartości jakie może przyjmować zmienna losowa. Na przykład:
Jeżeli płci dziecka przyporządkujemy wartości: chłopiec = -1, dziewczynka = 1, to płeć mającego się właśnie urodzić dziecka może być zmienną losową.
Wykształcenie przypadkowo wybranego człowieka może być zmienną losową. Wystarczy zrobić przyporządkowanie: podstawowe = 0.0, niepełne średnie = 0.5, średnie = 1.0, niepełne wyższe = 1.5, wyższe = 2.0

W przypadku zmiennych losowych, których wartości liczbowe zostały ustalone arbitralnie, należy zwrócić szczególną uwagę na interpretację parametrów takich rozkładów (np. co oznacza wyrażenie, że średnia wartość zmiennej losowej jaką jest płeć nowo narodzonego dziecka w pewnym szpitalu wynosi 0.08?).
Funkcją rozkładu (dystrybuantą) zmiennej losowej X nazywamy taką funkcję F(X), że:

Innymi słowy jest to funkcja, która dla dowolnej wartości x podaje prawdopodobieństwo, że zmienna losowa X przyjmie wartość z zakresu od minus nieskończoności do zadanej wartości x.
Funkcją gęstości prawdopodobieństwa ciągłej zmiennej losowej X, nazywamy funkcję f(x):
Z własności prawdopodobieństwa wynikają poniższe zależności:
Jeżeli zbiór wartości jakie może przyjmować zmienna losowa jest zbiorem co najwyżej przeliczalnym to mówimy, że jest to zmienna losowa dyskretna. Funkcję opisującą prawdopodobieństwo przyjęcia przez zmienną losową różnych jej wartości nazywamy funkcją rozkładu prawdopodobieństwa (krócej - funkcją prawdopodobieństwa) p(xi):
Jednoczesny rzut kostką i monetą
Mówimy, że zmienna losowa X jest ciągła, jeżeli istnieje nieujemna funkcja f(x) taka, że dla dowolnych a i b (a<b):
Funkcja f(x) jest gęstością prawdopodobieństwa i zachodzą związki:
Piłka na skwerze
Dla zmiennej losowej ciągłej zachodzi:

zaś dla zmiennej losowej dyskretnej: