Funkcje zmiennych losowych
Jednowymiarowa zmienna losowa
Funkcję, której argumentem jest zmienna losowa
nazywamy funkcją zmiennej losowej. Funkcja zmiennej losowej jest również zmienną losową.
Zamiana zmiennej losowej
dyskretnej
W przypadku zmiennej losowej ciągłej zamiana zmiennych jest bardziej skomplikowana. Poniższy
rysunek wyjaśnia zasadę zamiany zmiennych losowych ciągłych.Niech zmienna losowa X ma rozkład prawdopodobieństwa f(x) (krzywa czerwona). Zmienna losowa Y zaś jest funkcją zmiennej losowej X. Oznacza to, że wartości zmiennej losowej Y są związane z wartościami zmiennej losowej X zadaną zależnością funkcyjną (krzywa niebieska). Wówczas funkcja gęstości prawdopodobieństwa f(x) zostaje przekształcona na funkcję gęstości prawdopodobieństwa g(y) (krzywa zielona) zgodnie z równaniem umieszonym w ramce na rysunku.
W przedstawionym przykładzie funkcja wiążąca zmienne X i Y jest różno - różnowartościowa. W przypadku, gdy tak nie jest funkcja g(y) (zgodnie z wzorem) jest określona:
Zwracam szczególną uwagę na powyższą sytuację, gdyż zapominanie o niej jest stosunkowo częstym błędem.
Na rysunku pokazano również w jaki sposób przekształca się obszar pod krzywą f(x) na odpowiadający mu obszar pod krzywą g(y). Warto zauważyć, że charakter relacji wiążącej zmienne X i Y może diametralnie zmieniać rozmiary zakreskowanych pól - a więc odpowiadające im prawdopodobieństwa.
Zamiana zmiennej losowej ciągłej Przedstawiony powyżej sposób zamiany zmiennych jest metodą ogólną, zawsze skuteczną, choć czasami pracochłonną. W wielu przypadkach można znaleźć odpowiednie rozkłady funkcji zmiennej losowej na drodze prostych przekształceń, tak jak w poniższym przykładzie.